삼각함수의 특수각은 왜 몇 개 없는가?

중학교 교육과정에서 처음 삼각함수를 배울 때 드는 의문점이 있다. 왜 삼각함수의 특수각은 0, 30, 45, 60, 90도 밖에 안 알려주는 것일까? 정말로 다른 각도들에 대해서는 너무 어려운 삼각비가 나오거나, 혹은 간단한 삼각비가 나오는 각도들은 모두 복잡한 것일까? 각도와 삼각비가 동시에 간단한 경우는 우리가 학창시절에 배웠던 것처럼 몇 안 되는 것 인지, 본 게시물에서 밝혀보겠다.

 

1. 삼각함수 특수각의 정의

나는 삼각함수의 특수각을 아래와 같이 정의하였다.

 

정의 1.1 (특수각) 정수 $n, m, p, q$에 대해 아래를 만족하는 각도 $\frac{m \pi}{n}$를 특수각으로 정의한다.

$$\sin^2 \left( \frac{m \pi}{n} \right) = \frac{q}{p}$$

 

즉, 평각의 유리수 배 각도의 사인 함수의 제곱이 유리수가 되는 경우를 특수각이라고 정의하였다.

이는 충분히 확장적인 정의이다. 왜냐하면 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ 이므로 코사인에 대해서도 필요충분조건으로 성립하며, $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ 이므로 탄젠트도 마찬가지이다. 또한, 우리가 아는 특수각도 모두 $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$로 모두 정의에 부합한다.

 

2. 삼각함수의 배각 공식 일반화

삼각함수의 덧셈 정리라고하면 $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$, $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ 가 있다. 이를 통해 흔히 배각 공식이라고 하는 $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$, $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$가 유도된다.

일반화하여 $\sin(nx)$, $\cos(nx)$ 또한 $\sin x$와 $\cos x$의 항으로 표현할 수 있다.

 

정리 2.1 모든 자연수 $n$에 대해 다음이 성립한다.

$$\begin{align} \sin(nx) &= \sum_{r=0}^{2r+1 \leq n} (-1)^r \binom{n}{2r+1} \cos^{n-2r-1} x \cdot \sin^{2r+1} x \\ \cos(nx) &= \sum_{r=0}^{2r \leq n} (-1)^r \binom{n}{2r} \cos^{n-2r} x \cdot \sin^{2r} x \end{align}$$

(증명) $n$에 대한 귀납법을 쓰면 $\sin(nx + x), \cos(nx + x)$로 생각보다 어렵지 않게 증명할 수 있다.

 

놀라운 사실은 $\cos$과 $\sin$이 모두 제곱 간격으로 항이 분리된다는 것이다. 이는 우리에게 아주 중요한 점을 시사해준다.

 

정리 2.2 만약 $x$가 특수각이라면, 임의의 정수 $m$에 대해, $mx$도 특수각이다.

(증명) $\sin^2 x = \frac{q}{p}$이라면, $\sin(mx)$는 다음 항목들의 곱으로 인수분해된다.

1. $\sin^2 x$와 $\cos^2 x (= 1 - \frac{q}{p})$으로 구성된 다항식
2. $\sin x$
3. ($m$이 짝수인 경우만) $\cos x$

(1), (2), (3) 부분 모두 제곱하면 유리수이므로, $\sin^2 (mx)$는 유리수이다.

 

3. 삼각함수와 특성방정식

이를 특성방정식이라 칭하는게 맞는지는 모르겠지만.. $\sin^2 \left( \frac{m\pi}{n} \right) \triangleq \alpha$에 대한 일반 배각 공식을 통해 하나의 등식을 세울 수 있다.

$$\begin{align} \sin \left( n \cdot \frac{m \pi}{n} \right) &= \sum_{r=0}^{2r+1 \leq n} (-1)^r \binom{n}{2r+1} \cos^{n-2r-1} \left( \frac{m\pi}{n} \right) \cdot \sin^{2r+1} \left( \frac{m\pi}{n} \right) = 0 \end{align}$$

$n$이 홀수인 경우와 짝수인 경우를 나누면 상세히 전개 가능하다.

 

(1) $n$이 홀수인 경우 ($n = 2k + 1$)

$$\begin{align} 0 &= \sum_{r=0}^{2r+1 \leq n} (-1)^r \binom{n}{2r+1} \cos^{n-2r-1} \left( \frac{m\pi}{n} \right) \cdot \sin^{2r+1} \left( \frac{m\pi}{n} \right) \\ &= \sin \left( \frac{m\pi}{n} \right) \cdot \sum_{r=0}^k (-1)^r \binom{n}{2r+1} \cos^{2k-2r} \left( \frac{m\pi}{n} \right) \cdot \sin^{2r} \left( \frac{m\pi}{n} \right) \\ &= \sin \left( \frac{m\pi}{n} \right) \cdot \sum_{r=0}^k (-1)^r \binom{n}{2r+1} (1 - \alpha )^{k-r} \alpha^r \end{align}$$

 

(2) $n$이 짝수인 경우 ($n = 2k$)

$$\begin{align} 0 &= \sum_{r=0}^{2r+1 \leq n} (-1)^r \binom{n}{2r+1} \cos^{n-2r-1} \left( \frac{m\pi}{n} \right) \cdot \sin^{2r+1} \left( \frac{m\pi}{n} \right) \\ &= \sin \left( \frac{m\pi}{n} \right) \cdot \cos \left( \frac{m\pi}{n} \right) \cdot \sum_{r=0}^{k-1} (-1)^r \binom{n}{2r+1} \cos^{2k-2r-2} \left( \frac{m\pi}{n} \right) \cdot \sin^{2r} \left( \frac{m\pi}{n} \right) \\ &= \sin \left( \frac{m\pi}{n} \right) \cdot \cos \left( \frac{m\pi}{n} \right) \cdot \sum_{r=0}^{k-1} (-1)^r \binom{n}{2r+1} (1 - \alpha )^{k-1-r} \alpha^r \end{align}$$

 

이 특성방정식을 세운 목적은 삼각비 $\alpha$의 해를 다른 각도로 바라보기 위함이다. $\sin \frac{m\pi}{n}$ 혹은 $\cos \frac{m\pi}{n}$이 $0$이 되는 자명한 경우를 제외한다면 $n$의 홀짝성에 상관없이 아래 방정식을 얻어낼 수 있다. ($u$는 대충 $n/2$ 정도 되는 자연수이다.)

$$\binom{n}{1} (1-\alpha)^u \alpha^0 - \binom{n}{3} (1-\alpha)^{u-1} \alpha^1 + \binom{n}{5} (1-\alpha)^{u-2} \alpha^2 - \cdots = 0$$

이에 대한 유리근 $\alpha$가, $\sin^2 \frac{\pi}{6}, \sin^2 \frac{\pi}{4}, \sin^2 \frac{\pi}{3}, \sin^2 \frac{\pi}{2}$($=\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1$) 이외에도 존재한다면 우리가 모르는 특수각이 하나 이상 있다는 것이다!

 

4. 또 다른 특수각은 없다

3절에서 마무리한 등식의 양변을 $(1 - \alpha)^u$으로 나누고 $t \triangleq \frac{\alpha}{\alpha - 1}$으로 두면, 아래와 같은 등식이 성립한다.

$$f_n(t) \triangleq \binom{n}{1} t^0 + \binom{n}{3} t^1 + \binom{n}{5} t^2 + \cdots = 0$$

$\alpha$가 유리수인 조건과 $t$가 유리수인 조건은 필요충분조건으로 연결되어있다. 즉, 위 $t$에 대한 방정식 $f_n(t) = 0$에서 $t$의 유리수 근의 존재성이 특수각을 밝히는데 중요한 역할을 해줄 것이다.

 

$n$이 홀수인 경우 위 식의 최고차항($t^{(n-1)/2}$)의 계수는 $\binom{n}{n} = 1$이고, 상수항($t^0$)의 계수는 $\binom{n}{1} = n$이다. 유리근 정리에 의해 유리근 $t$는 $n$의 약수밖에 될 수 없다! 애초에 $t$는 양수가 될 수 없으므로 음의 약수들만 근으로 고려해보면 된다. 또한, $t = -1$인 경우는 $\alpha = \frac{1}{2}$, 즉 우리가 이미 알고있는 특수각 $\frac{\pi}{4}$에 해당하는 것이므로 고려하지 않겠다.

 

정리 4.1 $p \geq 5$인 소수 $p$와, 그와 서로소인 정수 $q$에 대해, $\frac{q\pi}{p}$는 특수각이 될 수 없다.

(증명) 위에서 밝인 사실에 의해 $t = -p$에 대해서 등식 $f_{p}(t) = 0$이 성립하지 않음을 증명하면 충분하다.

정수 $x$에 대해, $k_p(x) \triangleq \max\{k \in \mathbb Z : p^k | x\}$로 정의하자. $k_p(p!) = 1$이고, $x < p$인 자연수 $x$에 대해 $k_p(x!) = 0$이다.

$k_p\left(\binom{p}{1} (-p)^0 \right) = 1$이고, 모든 $r \geq 1$에 대해 $k_p \left(\binom{p}{2r+1} (-p)^r\right) \geq 2$이다. 따라서 $f_p(-p)$는 $p^2$으로 나누어떨어지지 않는다. 그러므로 $f_p(-p) \neq 0$이고, $t =-1$ 이외의 유리근을 가지지 않는다.

 

따름정리 4.2 $\frac{m\pi}{n}$이 특수각이라면 $n$의 소인수는 $2$ 혹은 $3$ 밖에 없다.

(증명) 정리 2.2와 정리 4.1으로 유도된다.

 

$k_8, k_9, k_{12}$가 각각 $8, 9, 12$와 서로소인 정수일 때, $\sin^2 \frac{k_8\pi}{8}$, $\sin^2 \frac{k_9\pi}{9}$, $\sin^2 \frac{k_{12}\pi}{12}$는 모두 특수각이 아니다. 오직 $2$와 $3$만을 소인수로 가지는 임의의 자연수 $n$은 $1, 2, 3, 4, 6$을 제외한다면 모두 $8, 9, 12$ 중 적어도 하나의 배수이다. 그러므로 더 이상의 특수각은 존재하지 않는다.

 

---

수학은 위대하고 간결하고 아름답다. 삼각함수와 유리수 두 개념은 동떨어져보이지만, 제법 아름다운 연결점을 발견한 것 같아서 뿌듯하다.

앞으로 삼각비를 처음 접하는 호기심 가득한 꿈나무들이 같은 질문을 했을 때, '그냥 외워라'는 대답보다는 이 글이 좀 더 원론적이고 적절하지 않을까 기대해본다.

 

부록. 남은 증명들

정리 A.1 $k_9$이 $9$와 서로소인 정수일 때, $\sin^2 \frac{k_9 \pi}{9}$는 무리수이다.

$\sin^2 \frac{k_9 \pi}{9}$가 유리수라면 방정식 $f_9(x) = 0$의 근도 유리수이다.

$$f_9(x) = 9 + 84x + 126x^2 + 36x^3 + x^4 = 0$$

인데, 유리근 정리에 의해 $\pm 1, \pm 9$ 이외의 유리근을 가질 수 없다. 모두 근이 아니므로 $\sin^2 \frac{k_9 \pi}{9}$는 무리수이다.

정리 A.2 $k_8, k_{12}$가 각각 $8, 12$와 서로소인 정수일 때, $\sin^2 \frac{k_8 \pi}{8}$과 $\sin^2 \frac{k_{12}\pi}{12}$는 무리수이다.

(증명) 반각 공식을 이용하여 하나씩 모두 계산해보면 제곱해도 유리화가 안 되는 루트가 있는 값이 나온다.