행렬 AB와 BA의 고유값(eigenvalue)은 서로 같은가?

두 행렬의 크기가 서로 달라 고유값의 개수가 다를 수도 있지만, 놀랍게도 추가적인 고유값들은 모두 0이다.

 

즉 $AB$의 고유값을 $x_1, x_2, \dots x_n$, $BA$의 고유값을 $y_1, y_2 \dots, y_m$ ($n \leq m$이라 가정) 으로 두면, $x_1 = y_1, x_2 = y_2, \dots, x_n = y_n$, $y_{n+1} = y_{n+2} = \cdots = y_m = 0$ 을 만족하는 재배열이 존재한다는 것이다.

 

 

보조정리 1. $A$가 $m \times n$, $B$가 $n \times m$ 행렬이라고 하자. 그렇다면 아래를 만족한다.

$$tr(AB) = tr(BA)$$

(증명 생략)

 

보조정리 2.

$$tr ((AB)^k) = tr ((BA)^k)$$

(증명) $L = B(AB)^{k-1}$ 로 두면 $tr(AL) = tr(LA)$ 이다.

 

보조정리 3. $A$가 $n \times n$ 행렬이라고 하자. 만약 $A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$ 이면, $A^k \mathbf{v} = \lambda^k \mathbf{v}$ 이다.

(증명 생략)

 

보조정리 4. 복소수열 $\{x_1, x_2, \dots, x_n \}$, $\{y_1, y_2, \dots, y_m \}$이 있다. ($n \leq m$이라 가정) 만약 임의의 자연수 $k$에 대해 $\sum_{i=1}^n x_i ^k = \sum_{j=1}^m y_j^k$ 를 만족한다면 $x_1 = y_1, x_2 = y_2, \dots, x_n = y_n$, $y_{n+1} = y_{n+2} = \cdots = y_m = 0$ 이 성립하도록 재배열할 수 있다.

(증명) $[N] = \{1, 2, 3, \dots, N\}$ 으로 정의하고, $\binom{A}{k} = \{B \subseteq A : |B| = k \}$ 로 정의하자. 모든 $r \geq 1$ 에 대해 아래가 성립함을 우선 증명할 것이다.

$$\sum_{I \in \binom{[n]}{r}} \prod_{i \in I} x_i = \sum_{J \in \binom{[m]}{r}} \prod_{j \in J} y_j$$

$r$에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. $r = 1$ 인 경우는 자명하게 성립한다. $r = 1, 2, \dots, k$ 에 대해 모두 성립한다고 가정하자. 그렇다면 포함-배제의 원리에 의해

$$\begin{align} (k+1) \sum_{I \in \binom{[n]}{k+1}} \prod_{i \in I} x_i =& (x_1 + x_2 + \cdots + x_n) \left( \sum_{I \in \binom{[n]}{k}} \prod_{i \in I} x_i \right) \\ &-(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2) \left( \sum_{I \in \binom{[n]}{k-1}} \prod_{i \in I} x_i \right) \\ &+ (x_1^3 + x_2^3 + \cdots + x_n^3) \left( \sum_{I \in \binom{[n]}{k-2}} \prod_{i \in I} x_i \right) \\ &\cdots + (-1)^k \left( x_1 ^{k+1} + x_2 ^{k+1} + \cdots + x_n^{k+1} \right) \\ =& (k+1) \sum_{J \in \binom{[m]}{k+1}} \prod_{j \in J} y_j \end{align}$$

이므로 임의의 $r$에 대해 성립함이 증명된다.

 

근과 계수의 법칙에 의해

$$\prod_{j=1}^m (x - y_j) = x^{m-n} \cdot \prod_{i=1}^n (x - x_i)$$

이므로 본 보조정리가 증명된다.

 

보조정리 5. $A$가 $n \times n$ 행렬이라고 하고 고유값을 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$으로 가진다고 가정하자. (중근 포함) 그렇다면 $\sum_{i=1}^n \lambda_i = tr(A)$ 이다.

(증명) 행렬값의 정의를 다시 살펴보면

$$\det A = \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{sgn (\sigma)} \prod_{i=1}^n A_{i, \sigma(i)}$$

이다. 행렬 고유값들은 $n$차 방정식 $\det (\lambda I - A) = 0$의 근에 해당한다. $\lambda^n$과 $\lambda^{n-1}$은 오직 $\sigma = id$ 순열에 대해서만 나타나는 항이다. 그러므로 $\lambda^n$의 계수는 $1$이고, $\lambda^{n-1}$의 계수는 $-tr(A)$ 이다. 근과 계수의 법칙에 의해 $\sum_{i=1}^n \lambda_i = tr(A)$ 이다.

 

 

정리 6. 두 행렬 $AB$와 $BA$의 고유값은 서로 같다. 추가 고유값들은 모두 $0$이다.

(증명) $AB$의 고유값을 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$, $BA$의 고유값을 $\mu_1, \mu_2, \dots, \mu_m$ 이라고 하자. 임의의 자연수 $k$에 대하여

$$\sum_{i=1}^n \lambda_i ^ k = tr((AB)^k) = tr((BA)^k) = \sum_{j=1}^m \mu_j ^ k$$

이므로 두 고유값은 서로 같고 추가 고유값들은 모두 $0$이다.