소수 밀도 하한의 간단한 증명
베르트랑의 공준 증명에서 조그만한 아이디어를 가져왔다. 소수 밀도 하한에 대한 초등적이면서 Big-$O$ 표기법으로는 실제와 동일한 결과가 나오는 간단한 증명인 것 같다. 1부터 $n$까지 소수의 개수를 $\pi(n)$이라고 하자. Theorem. 임의의 자연수 $n$에 대하여 $$ \pi(n) \geq \frac{n}{2 \log n} $$ 이다. (단 이 글에서 모든 생략된 로그 밑은 2이다.) Claim. $$ \pi(2n) \geq \frac{2n}{2 \log 2n} $$ (Proof) $\binom{2n}{n} = N$이라고 하자. 수학적 귀납법에 의해 $N \geq 2^n$을 만족한다. 소수 $p$에 대하여, $p^e | N$이 성립하는 $e$의 최대값을 $f_N(p)$라고 하자. $$ \b..
