행렬 AB와 BA의 고유값(eigenvalue)은 서로 같은가?
두 행렬의 크기가 서로 달라 고유값의 개수가 다를 수도 있지만, 놀랍게도 추가적인 고유값들은 모두 0이다. 즉 $AB$의 고유값을 $x_1, x_2, \dots x_n$, $BA$의 고유값을 $y_1, y_2 \dots, y_m$ ($n \leq m$이라 가정) 으로 두면, $x_1 = y_1, x_2 = y_2, \dots, x_n = y_n$, $y_{n+1} = y_{n+2} = \cdots = y_m = 0$ 을 만족하는 재배열이 존재한다는 것이다. 보조정리 1. $A$가 $m \times n$, $B$가 $n \times m$ 행렬이라고 하자. 그렇다면 아래를 만족한다. $$ tr(AB) = tr(BA) $$ (증명 생략) 보조정리 2. $$ tr ((AB)^k) = tr ((BA)^k) $$ ..
